Một khối Rubik 3×3 tiêu chuẩn có khoảng 43.252.003.274.489.856.000 trạng thái có thể đạt được. Nếu chỉ có một trạng thái được xem là hoàn thành và mỗi trạng thái được chọn với xác suất bằng nhau, xác suất trúng trạng thái đó là khoảng 1 trên 43,25 tỷ tỷ, tương đương 0,00000000000000000231%. Tuy nhiên, con số này áp dụng cho một trạng thái ngẫu nhiên duy nhất, không phải mọi cách xoay ngẫu nhiên đều có xác suất như nhau.
Nếu xoay Rubik 3×3 hoàn toàn ngẫu nhiên, xác suất giải được là bao nhiêu?
Nếu một người không biết cách giải Rubik 3×3 và chỉ xoay các mặt một cách ngẫu nhiên, cơ hội đưa khối Rubik về trạng thái hoàn chỉnh sau một lần chọn trạng thái ngẫu nhiên là khoảng 1 trên 43.252.003.274.489.856.000, với giả định mọi trạng thái hợp lệ đều có khả năng xuất hiện như nhau.
Đổi sang phần trăm, xác suất này xấp xỉ: 0,00000000000000000231%
Đây là xác suất cực nhỏ. Dù người chơi thực hiện nhiều lượt xoay, khả năng tình cờ tìm đúng trạng thái hoàn chỉnh vẫn rất thấp nếu các thao tác không có chiến lược giải.
Vì sao Rubik 3×3 có hơn 43 tỷ tỷ trạng thái?
Rubik 3×3 không chỉ là sáu mặt màu sắc có thể đổi chỗ tùy ý. Các viên góc, viên cạnh và cơ chế xoay của khối lập phương tạo nên một hệ thống trạng thái chịu nhiều ràng buộc toán học. Một khối Rubik tiêu chuẩn có:
- 8 viên góc, mỗi viên có thể đổi vị trí và định hướng.
- 12 viên cạnh, mỗi viên có thể đổi vị trí và định hướng.
- 6 viên tâm, xác định màu của sáu mặt và giữ vị trí tương đối với nhau trong cách mô tả Rubik thông thường.
Số trạng thái hợp lệ được tính bằng công thức: 8! × 3⁷ × 12! × 2¹¹ ÷ 2
Kết quả là: 43.252.003.274.489.856.000 trạng thái
Công thức có các thành phần thể hiện số cách sắp xếp viên góc, định hướng góc, sắp xếp viên cạnh và định hướng cạnh. Các ràng buộc về định hướng và tính chẵn lẻ của hoán vị khiến không phải mọi cách sắp xếp tưởng tượng đều có thể đạt được bằng cách xoay Rubik bình thường.
Cách tính xác suất giải Rubik bằng xoay ngẫu nhiên
Giả sử một khối Rubik có \(N\) trạng thái hợp lệ và chỉ có một trạng thái được xem là hoàn chỉnh. Nếu mỗi trạng thái có khả năng xuất hiện bằng nhau, xác suất chọn đúng trạng thái hoàn chỉnh là:
P = 1/N
Với Rubik 3×3 tiêu chuẩn: P = 1 / 43.252.003.274.489.856.000
Để chuyển sang phần trăm, nhân kết quả với 100: P ≈ 0,00000000000000000231%
Điều này không có nghĩa là người chơi sẽ cần đúng 43 tỷ tỷ lượt xoay. Đây là số trạng thái có thể có, không phải số thao tác cần thực hiện. Một lượt xoay có thể đưa Rubik từ trạng thái này sang trạng thái khác, và cùng một trạng thái có thể được tiếp cận bằng nhiều chuỗi thao tác khác nhau.
Nếu xoay nhiều lần thì xác suất có tăng không?
Có thể tăng nếu mỗi lần thử tạo ra một trạng thái mới được lấy ngẫu nhiên và độc lập theo mô hình xác suất. Tuy nhiên, khi xoay Rubik liên tục, các trạng thái không tự động độc lập hoặc đồng xác suất chỉ vì người chơi chọn động tác ngẫu nhiên.
Trong mô hình đơn giản giả định mỗi lượt thử độc lập và có xác suất thành công \(p\), xác suất thành công ít nhất một lần sau \(n\) lượt là:
P = 1 − (1 − p)ⁿ
Với \(p\) cực nhỏ như xác suất của Rubik 3×3, số lượt thử thông thường không làm xác suất tổng tăng lên mức đáng kể. Công thức này chỉ phù hợp khi giả định độc lập được thỏa mãn; nó không mô tả chính xác mọi cách xoay ngẫu nhiên liên tiếp trên một khối Rubik.
Người không biết giải Rubik có thể vô tình giải được không?
Về mặt toán học, điều đó không phải bất khả thi. Nếu các thao tác đưa khối Rubik đến trạng thái hoàn chỉnh, người chơi đã giải được khối Rubik dù không hiểu thuật toán.
Tuy nhiên, cần phân biệt hai tình huống:
- Chọn một trạng thái hoàn toàn ngẫu nhiên: nếu mọi trạng thái hợp lệ có xác suất bằng nhau, xác suất trúng trạng thái hoàn chỉnh là 1 trên tổng số trạng thái.
- Xoay ngẫu nhiên liên tục: kết quả phụ thuộc vào cách chọn động tác, số lần xoay, trạng thái ban đầu và khả năng lặp lại trạng thái. Không thể mặc định mỗi chuỗi động tác có cùng xác suất tạo ra một trạng thái cuối.
Vì vậy, con số 0,00000000000000000231% là câu trả lời cho mô hình chọn một trạng thái hợp lệ đồng xác suất, không phải xác suất chính xác cho mọi tình huống một người xoay Rubik tùy ý.
Rubik 3×3 có thể được giải trong bao nhiêu bước?
Một điểm thú vị là dù số trạng thái của Rubik rất lớn, mọi trạng thái hợp lệ của Rubik 3×3 tiêu chuẩn đều có thể được giải trong tối đa 20 bước nếu tính theo quy ước mỗi bước là một phép xoay mặt, trong đó xoay 90 độ, 180 độ hoặc 270 độ đều được tính là một bước.
Kết quả này thường được gọi là “God’s Number” — số bước tối đa tối ưu của Rubik 3×3. Nó không có nghĩa người mới học có thể tự giải trong 20 bước; con số này nói về lời giải ngắn nhất có thể đối với mọi trạng thái hợp lệ theo quy ước tính bước nói trên.
Đây cũng là điểm khác biệt giữa số trạng thái và số bước giải: số trạng thái đo độ lớn của không gian tổ hợp, còn số bước giải liên quan đến khoảng cách giữa một trạng thái và trạng thái hoàn chỉnh.
Kết luận
Với Rubik 3×3 tiêu chuẩn, số trạng thái hợp lệ là khoảng 43,25 tỷ tỷ. Nếu chọn ngẫu nhiên một trạng thái và giả định mọi trạng thái đều đồng xác suất, cơ hội nhận được trạng thái hoàn chỉnh chỉ khoảng 0,00000000000000000231%.
Đối với việc xoay ngẫu nhiên liên tục, không thể áp dụng con số này một cách máy móc cho mọi cách chơi. Xác suất cụ thể phụ thuộc vào mô hình chọn động tác và số lượt thử. Điểm cốt lõi là không gian trạng thái của Rubik quá lớn, nên việc giải bằng các thao tác không có chiến lược là cực kỳ khó so với sử dụng phương pháp giải có hệ thống.
FAQ về xác suất giải Rubik 3×3
Xác suất giải được Rubik 3×3 bằng cách xoay ngẫu nhiên là bao nhiêu phần trăm?
Nếu chọn ngẫu nhiên một trạng thái hợp lệ với xác suất đồng đều, xác suất trúng trạng thái hoàn chỉnh là khoảng 0,00000000000000000231%.
Rubik 3×3 có bao nhiêu trạng thái?
Rubik 3×3 tiêu chuẩn có 43.252.003.274.489.856.000 trạng thái hợp lệ có thể đạt được bằng các phép xoay thông thường.
Người chưa từng học Rubik có thể giải được bằng cách xoay ngẫu nhiên không?
Có thể về mặt lý thuyết, nhưng xác suất rất nhỏ. Kết quả còn phụ thuộc vào cách xoay và số lần thử.
43 tỷ tỷ có phải là số lượt xoay cần để giải Rubik không?
Không. Đây là số trạng thái hợp lệ, không phải số lượt xoay cần thiết để giải. Một trạng thái có thể được tiếp cận bằng nhiều chuỗi thao tác khác nhau.
Vì sao Rubik có nhiều trạng thái nhưng vẫn có thể giải trong tối đa 20 bước?
Vì số trạng thái và số bước ngắn nhất để đi từ một trạng thái về trạng thái hoàn chỉnh là hai đại lượng khác nhau. Với quy ước tính bước chuẩn, mọi trạng thái Rubik 3×3 hợp lệ đều có lời giải tối ưu không quá 20 bước.
